Elementare Mathematik
Einführung, Begriffsbildung, Mengen, Symbole und Rechenregeln

Mathematik (griechisch: $\mu\alpha\theta\eta\mu\alpha$) - Kenntnis, Lehre, Wissenschaft
Die Mathematik besitzt eine ca. 5000 jährige Geschichte und stellt das mächtigste Instrument dar, um die Gesetzte der Natur-, Ingenieur- und Strukturwissenschaften zu beschreiben. Die Sprache der Mathematik ist eine Fachsprache, die sehr präzise und formell ist mit einer Fülle von Symbolen, in die hier zum Teil eingeführt wird.

Abkürzungen, Notation, Wahre und falsche Aussagen

• Die Alternative (oder $(\vee)$): $A \vee B$ bedeutet $A$ und/oder $B$ sind wahr und nicht entweder $A$ oder $B$ ist wahr
  $A \vee B $: A ist wahr oder B ist wahr oder A und B sind wahr
• Die strenge Alternative: Die Aussage entweder $A$ oder $B$ ist wahr ist wahr, wenn eine der der Aussagen wahr ist und die andere falsch ist. Die Aussage ist falsch, wenn beide wahr oder beide falsch sind.
• Die Konjunktion und $(\wedge)$: bedeutet sowohl ... als auch
  $A \wedge B$: sowohl A als auch B sind wahr, die Aussage ist wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
• Negation $(\neg)$: Ist A wahr, dann ist $\neg$A falsch
• Implikation ($\Rightarrow$): $A \Rightarrow B$ --- aus A ist wahr folgt, dass B wahr ist, bzw. sei A eine hinreichende Bedingung für B und B sei eine notwendige Bedingung für A
• äquivalenz ($\Leftrightarrow$): $A \Leftrightarrow B$ --- A gilt genau dann, wenn B gilt. A ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für B (und B für A).
• für alle: $\forall$
• es gibt/existiert: $\exists$
• nicht ($/$): Bsp.: $\not=$ --- $a\not=b$ --- Dies bedeutet $a$ ist nicht gleich $b$

Mengen

[Mengen] Eine jede Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten m zu einem Ganzenen wird eine Menge $\mathcal{M}$ genannt.

• $m \in \mathcal{M}$: $m$ ist ein Element der Menge $\mathcal{M}$, d.h. gehört zur Menge $\mathcal{M}$
• $m \not\in \mathcal{M}$: $m$ ist nicht ein Element der Menge $\mathcal{M}$, d.h. gehört nicht zur Menge $\mathcal{M}$

• Auflisten der Elemente:
  • $\mathbb{N} := \{1, 2, 3, ...\}$ ist die Menge der natürlichen Zahlen
  • $\mathbb{N}_{0} := \{0, 1, 2, 3, ...\}$ ist die Menge der natürlichen Zahlen mit der Null
• Angabe einer definierenden Eigenschaft E (oder Aussage E)
  • $\mathbb{Z} := \left \{ x \vert\ x \in \mathbb{N}_{0} \vee\ -x \in \mathbb{N} \right \}$ ist die Menge der ganzen Zahlen, oder allgemeiner
    $\mathcal{E} := \{x\in \mathcal{E} |$ für $x$ gilt die Aussage $E\}$
• Angabe eines Funktionsausdruckes (eventuell kombiniert mit zusätzlichen Eigenschaften)
  • $\mathbb{Q} := \{ x \vert\ x =\frac{m}{n}\ \mathrm{mit}\ m\in\mathbb{Z} \ \mathrm{und}\ n\in\mathbb{N} \} $
• Durch eine eindeutige, verbale Beschreibung
  • $\mathbb{R} := $ Menge der reelen Zahlen, also der endlichen und unendlichen Dezimalbrüchen.
  • $\{\emptyset\} := $ die leere Menge, d.h. sie enthält kein Element. Die leere Menge ist eine Teilmenge von jeder Menge. Man erhält eine leere Menge, wenn eine Aussage $E(x)$ von keinem Element $x$ erfüllt wird.

Einige Mengenoperationen

• Teilmenge $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}$, dass jedes Element von $\mathcal{A}$ zugleich ein Element von $\mathcal{B}$ ist, d.h. $\forall x \in \mathcal{A} \Rightarrow x \in \mathcal{B}$
• Gleichheit $\mathcal{A}=\mathcal{B}$, genau dann wenn gilt $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} \wedge \mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}$
• (echte) Teilmenge $\mathcal{A}\subset \mathcal{B}$:\\ d.h. $\forall x \in \mathcal{A} \Rightarrow x \in \mathcal{B}\ \wedge\ \exists\ \mathrm{mindestens\ ein}\ y\in\mathcal{B}\vert\ y\not\in\mathcal{A}$
  Bsp.: $\emptyset \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{N}_{0} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
• Vereinigung $\mathcal{A} \cup \mathcal{B} := \{x \vert\ x \in \mathcal{A} \vee x \in \mathcal{B} \}$
• Durchschnitt $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} := \{x \vert\ x \in \mathcal{A} \wedge x \in \mathcal{B} \}$
• Differenz $\mathcal{A} \setminus \mathcal{B} := \{x \in \mathcal{A} \vert\ x \not\in \mathcal{B} \}$

1. Reflexivität: $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A}$
2. Transivität: Aus $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}$ folgt $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{C}$.
3. Antisymmetrie: Aus $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}$ und $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}$ folgt $\mathcal{A} = \mathcal{B}$.

1. Kommutativgesetze: $\mathcal{A}\cap\mathcal{B}=\mathcal{B}\cap\mathcal{A},\ \mathcal{A} \cup\mathcal{B}=\mathcal{B}\cup\mathcal{A}$
2. Assoziativgesetze: $\mathcal{A}\cap(\mathcal{B}\cap\mathcal{C}) = (\mathcal{A}\cap\mathcal{B}) \cap\mathcal{C},\ \mathcal{A}\cup(\mathcal{B}\cup\mathcal{C}) = (\mathcal{A}\cup\mathcal{B} \cup\mathcal{C}$
3. Distributivgesetze:
   $\mathcal{A}\cap(\mathcal{B}\cup\mathcal{C}) = (\mathcal{A}\cap\mathcal{B}) \cup (\mathcal{A}\cap\mathcal{C}),\ \mathcal{A}\cup(\mathcal{B}\cap\mathcal{C} = \mathcal{A}\cup\mathcal{B}) \cap (\mathcal{A}\cap\mathcal{C})$
4. Nullelement: $\mathcal{A}\cap\emptyset = \emptyset,\ \mathcal{A}\cup\emptyset = \mathcal{A}$

Rechengesetze für reelle Zahlen

A: Addition

1. [(A1)] Assoziativität: $(a + b) + c = a + (b + c)$
2. [(A2)] Kommutativität: $a + b = b + a$
3. [(A3)] $0$ ist neutrales Element der Addition: $a + 0 = a$
4. [(A4)] Die Gleichung $a + x = b$ hat immer eine und genau eine Lösung, $x=b-a$. Beachte, dass dies nur für reelle Zahlen gilt, wären z.B. $a,b\in\mathbb{N}$ gilt diese Aussage nicht mehr!

M: Multiplikation

• [(M1)] Assoziativität: $(ab)c=a(bc)$
• [(M2)] Kommutativität: $ab=ba$
• [(M3)] $1$ ist neutrales Element der Multiplikation: $1a=a$
• [(M4)] Die Gleichung $ax=b$ hat für $a\not=0$ eine und nur eine Lösung $x=b/a$.

D: Distributivgesetz

• [(D)] $a(b+c)=ab+ac$

Anordnung der reellen Zahlen

O: Die Gesetze der Ordnung

• [(O1)] Trichotomie: Für je zwei reelle Zahlen $a,\ b$ gilt stets eine aber nur eine der drei Beziehungen $ a < b,\ a > b,\ a=b $.
• [(O2)] Transitivität: Aus $a < b\wedge b < c \Rightarrow a < c$.
• [(O3)] Aus $ a < b\Rightarrow a+c < b+c\ \forall\ c$.
• [(O4)] Aus $a < b\wedge\ c > 0\Rightarrow ac < bc$.

Kleiner-Gleich (und entsprechend Grö\ss er-Gleich)

[Kleiner-Gleich ($\leq$)]
$a\leq b$: entweder $a < b$ oder $a=b$.

Eigenschaften

1. Aus $a\leq b\wedge b\leq a \Rightarrow a=b$.
2. Aus $a\leq b\wedge b\leq c \Rightarrow a\leq c$.
3. Für $a\leq b \Rightarrow a+c\leq b+c\ \forall c$.
4. Für $a\leq b\wedge c\leq 0 \Rightarrow ac\leq bc$.

Rechnen mit Ungleichungen

1. Ungleichungen dürfen addiert werden, wenn die Richtung der Ungleichheit ($< $) berücksichtigt wird: Aus $a\leq b \wedge c\leq d \Rightarrow a+c\leq b+d$.
2. Aus $a+c\leq b+d \wedge c\geq d \Rightarrow a\leq b$.
3. $a+x \leq b$ ist gleichbedeutend mit $x\leq b-a$.
4. Für $a>0$ ist $ax\leq b$ gleichbedeutend mit $x\leq b/a$.

Betrag einer Zahl

[Betrag]
$$ \left|a\right|:=\left\{ \begin{array}{r@{\quad \mathrm{falls} \quad}l} a & a\geq 0 \\ -a & a < 0 \end{array} \right. $$

1. $|a|\geq 0$, $|-a|=|a|$, $|a|^{2}=a^{2}$ und $-|a|\leq a\leq |a|$.
2. $|a|\geq 0\ \forall a\in\mathbb{R}, |a|=0 \Leftrightarrow a=0$.
3. $|ab|=|a|\cdot|b|$.
4. Dreiecksungleichung: $|a + b| \leq |a| + |b|$.