Elementare Mathematik
Einführung, Begriffsbildung, Mengen, Symbole und Rechenregeln

Mathematik (griechisch: $\mu\alpha\theta\eta\mu\alpha$) - Kenntnis, Lehre, Wissenschaft
Die Mathematik besitzt eine ca. 5000 jährige Geschichte und stellt das mächtigste Instrument dar, um die Gesetzte der Natur-, Ingenieur- und Strukturwissenschaften zu beschreiben. Die Sprache der Mathematik ist eine Fachsprache, die sehr präzise und formell ist mit einer Fülle von Symbolen, in die hier zum Teil eingeführt wird.

Abkürzungen, Notation, Wahre und falsche Aussagen

Eine mathematische Aussage bezieht sich immer auf einen bestimmten Gegenstandsbereich der Mathematik, dort ist sie entweder wahr oder falsch, ein Drittes gibt es nicht.

Mengen

[Mengen] Eine jede Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten m zu einem Ganzenen wird eine Menge $\mathcal{M}$ genannt.

Die Objekte m werden auch als die Elemente der Menge $\mathcal{M}$ dezeichnet. Wie kann man Mengen definieren?

Einige Mengenoperationen

Teilmenge, Gleichheit, Vereinigung, Durchschnitt und Differenz von Mengen: Sind $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$ Mengen, dann bedeutet Desweiteren gilt für Mengen $\mathcal{A, B}$ und $\mathcal{C}$:
  1. Reflexivität: $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A}$
  2. Transivität: Aus $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}$ folgt $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{C}$.
  3. Antisymmetrie: Aus $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}$ und $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}$ folgt $\mathcal{A} = \mathcal{B}$.
Bemerkung: Die Beziehung (3) wird benutzt, um die Gleichheit zweier Mengen zu beweisen.
Es gelten ferner die folgenden Regeln:
  1. Kommutativgesetze: $\mathcal{A}\cap\mathcal{B}=\mathcal{B}\cap\mathcal{A},\ \mathcal{A} \cup\mathcal{B}=\mathcal{B}\cup\mathcal{A}$
  2. Assoziativgesetze: $\mathcal{A}\cap(\mathcal{B}\cap\mathcal{C}) = (\mathcal{A}\cap\mathcal{B}) \cap\mathcal{C},\ \mathcal{A}\cup(\mathcal{B}\cup\mathcal{C}) = (\mathcal{A}\cup\mathcal{B} \cup\mathcal{C}$
  3. Distributivgesetze:
    $\mathcal{A}\cap(\mathcal{B}\cup\mathcal{C}) = (\mathcal{A}\cap\mathcal{B}) \cup (\mathcal{A}\cap\mathcal{C}),\ \mathcal{A}\cup(\mathcal{B}\cap\mathcal{C} = \mathcal{A}\cup\mathcal{B}) \cap (\mathcal{A}\cap\mathcal{C})$
  4. Nullelement: $\mathcal{A}\cap\emptyset = \emptyset,\ \mathcal{A}\cup\emptyset = \mathcal{A}$
Bemerkung: Der Durchschnitt $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$ (bzw. die Vereinigung $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}$) verhalten sich analog zum Produkt (bzw. zur Summe) zweier Zahlen, die leere Menge $\emptyset$ übernimmt die Rolle der Zahl Null.

Rechengesetze für reelle Zahlen

A: Addition

  1. [(A1)] Assoziativität: $(a + b) + c = a + (b + c)$
  2. [(A2)] Kommutativität: $a + b = b + a$
  3. [(A3)] $0$ ist neutrales Element der Addition: $a + 0 = a$
  4. [(A4)] Die Gleichung $a + x = b$ hat immer eine und genau eine Lösung, $x=b-a$. Beachte, dass dies nur für reelle Zahlen gilt, wären z.B. $a,b\in\mathbb{N}$ gilt diese Aussage nicht mehr!

M: Multiplikation

D: Distributivgesetz

Anordnung der reellen Zahlen

O: Die Gesetze der Ordnung

Kleiner-Gleich (und entsprechend Grö\ss er-Gleich)

[Kleiner-Gleich ($\leq$)]
$a\leq b$: entweder $a < b$ oder $a=b$.

Eigenschaften

  1. Aus $a\leq b\wedge b\leq a \Rightarrow a=b$.
  2. Aus $a\leq b\wedge b\leq c \Rightarrow a\leq c$.
  3. Für $a\leq b \Rightarrow a+c\leq b+c\ \forall c$.
  4. Für $a\leq b\wedge c\leq 0 \Rightarrow ac\leq bc$.

Rechnen mit Ungleichungen

  1. Ungleichungen dürfen addiert werden, wenn die Richtung der Ungleichheit ($< $) berücksichtigt wird: Aus $a\leq b \wedge c\leq d \Rightarrow a+c\leq b+d$.
  2. Aus $a+c\leq b+d \wedge c\geq d \Rightarrow a\leq b$.
  3. $a+x \leq b$ ist gleichbedeutend mit $x\leq b-a$.
  4. Für $a>0$ ist $ax\leq b$ gleichbedeutend mit $x\leq b/a$.

Betrag einer Zahl

[Betrag]
$$ \left|a\right|:=\left\{ \begin{array}{r@{\quad \mathrm{falls} \quad}l} a & a\geq 0 \\ -a & a < 0 \end{array} \right. $$

Für den Betrag gelten folgende Eigenschaften:
  1. $|a|\geq 0$, $|-a|=|a|$, $|a|^{2}=a^{2}$ und $-|a|\leq a\leq |a|$.
  2. $|a|\geq 0\ \forall a\in\mathbb{R}, |a|=0 \Leftrightarrow a=0$.
  3. $|ab|=|a|\cdot|b|$.
  4. Dreiecksungleichung: $|a + b| \leq |a| + |b|$.